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Il mwawmodello matematico di mwbareazione-diffusione è l'mwbqequazione parabolica la cui mwbgomogenea associata è l'mwbwequazione della diffusione: il termine di sorgente viene chiamato "termine di reazione" poiché nell'applicazione più frequente, dove la funzione incognita è la mwcaconcentrazione di un composto, è associato ad una mwcqreazione chimica in cui partecipa il composto. L'equazione viene utilizzata sia per descrivere la concentrazione di una reazione chimica, sia per caratterizzare la mwcgdiffusione di materia nello spazio.

Il modello generale consiste nell'mwdaequazione del calore (equazione di diffusione) con incognita la funzione mwdq u ( x , t ) {\displaystyle u(x,t)} in cui è presente un termine non omogeneo mwdg f ( u , x , t ) {\displaystyle f(u,x,t)} , ovvero:

mweq ∂ ∂ u ∂ ∂ t − − d ∇ ∇ 2 u = f ( u , x , t ) {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-d\nabla ^{2}u=f(u,x,t)}

dove mwew d {\displaystyle d} è il coefficiente di mwfadiffusione (mwfqdiffusività di materia). Tale relazione è nota col nome di mwfgequazione di reazione-diffusione.

A causa del termine non omogeneo di reazione mwga f ( u , x , t ) {\displaystyle f(u,x,t)} , in generale l'equazione non soggiace ad un principio globale di conservazione della quantità di cui mwgq u {\displaystyle u} è la densità.

• Una componente

• Equazione di Fisher

• Sistema a due componenti

• Esempio del "Brusselatore"

• Note

• Bibliografia

• Voci correlate

• Altri progetti

La versione più semplice dell'equazione riguarda la concentrazione mwhq u {\displaystyle u} di una singola sostanza in una dimensione:

mwia ∂ ∂ t u = D ∂ ∂ x 2 u + R ( u ) {\displaystyle \partial _{t}u=D\partial _{x}^{2}u+R(u)}

nota nella mwigletteratura inglese come mwiwKPP equation (Kolmogorov-Petrovsky-Piskounov).cite-ref-1[1]

• Se il termine di reazione svanisce, si ottiene un processo di diffusione puro, la cui equazione corrispondente è la seconda mwkglegge di Fick.

• Se mwla R ( u ) = u ( 1 − − u ) {\displaystyle R(u)=u(1-u)} si ottiene l'mwlqequazione di Fisher, originariamente usata per descrivere la diffusione sul territorio di una popolazione biologica.cite-ref-2[2]

• Si ha invece l'equazione di Newell-Whitehead-Segel quando mwmw R ( u ) = u ( 1 − − u 2 ) {\displaystyle R(u)=u(1-u^{2})} , la quale consente di descrivere la mwnaconvezione di Rayleigh-Bénard.cite-ref-3[3]cite-ref-4[4]

• Con mwpg R ( u ) = u ( 1 − − u ) ( u − − α α ) {\displaystyle R(u)=u(1-u)(u-\alpha )} e mwpw 0 < α α < 1 {\displaystyle 0<\alpha <1} si trova la più generale equazione di Zeldovich, utilizzata nella teoria della mwqacombustione.cite-ref-5[5] Con lo stesso nome talvolta si identifica il caso particolare degenere con mwrq R ( u ) = u 2 − − u 3 {\displaystyle R(u)=u^{2}-u^{3}} .cite-ref-6[6]

Un caso particolare del modello generale di reazione-diffusione, che può essere considerato un'estensione dell'mwtqequazione logistica che tiene conto della mwtgdiffusione spaziale, è stato proposto da Fisher:

mwuq ∂ ∂ u ∂ ∂ t − − d ∇ ∇ 2 u = a u − − b u 2 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-d\nabla ^{2}u=au-bu^{2}}

dove il termine di reazione è descritto dal contributo non lineare mwuw f ( u ) = a u − − b u 2 {\displaystyle f(u)=au-bu^{2}} , composto dalla generazione mwvamalthusiana, cioè proporzionale alla densità mwvq a u {\displaystyle au} , e dalla limitazione non lineare mwvg − − b u 2 {\displaystyle -bu^{2}} all'accrescimento della densità mwvw u {\displaystyle u} , proporzionale al quadrato della densità. Questo termine definisce un valore critico locale della densità mwwa u {\displaystyle u} dato da mwwq u ∗ ∗ = a / b {\displaystyle u^{*}=a/b} , per il quale il termine di reazione si annulla e il processo diviene localmente di pura diffusione. Tale densità critica definisce il limite locale superiore, oltre il quale la densità non può crescere in situazione di regime.

Un'idea inizialmente proposta da mwxaAlan Turing è che uno stato che è stabile nel sistema locale potrebbe diventare instabile in presenza di diffusione.cite-ref-7[7]

Un'analisi di stabilità lineare mostra comunque che linearizzando il sistema a due componenti:

mwza ( ∂ ∂ t u ∂ ∂ t v ) = ( D u 0 0 D v ) ( ∂ ∂ x x u ∂ ∂ x x v ) + ( F ( u , v ) G ( u , v ) ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\partial _{t}u&\partial _{t}v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}D_{u}&0\\0&D_{v}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\partial _{xx}u\\\partial _{xx}v\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}F(u,v)\\G(u,v)\end{pmatrix}}}

una perturbazione mwzg q ~ ~ k ( x , t ) {\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {q}}}_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}},t)} ad mwzwonda piana della soluzione stazionaria ed omogenea:

mwag q ~ ~ k ( x , t ) = ( u ~ ~ ( t ) v ~ ~ ( t ) ) e i k ⋅ ⋅ x {\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {q}}}_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}},t)={\begin{pmatrix}{\tilde {u}}(t)\\{\tilde {v}}(t)\end{pmatrix}}e^{i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}

soddisfa:

mwbg ( ∂ ∂ t u ~ ~ k ( t ) ∂ ∂ t v ~ ~ k ( t ) ) = − − k 2 ( D u u ~ ~ k ( t ) D v v ~ ~ k ( t ) ) + R ′ ′ ( u ~ ~ k ( t ) v ~ ~ k ( t ) ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\partial _{t}{\tilde {u}}_{\boldsymbol {k}}(t)\\\partial _{t}{\tilde {v}}_{\boldsymbol {k}}(t)\end{pmatrix}}=-k^{2}{\begin{pmatrix}D_{u}{\tilde {u}}_{\boldsymbol {k}}(t)\\D_{v}{\tilde {v}}_{\boldsymbol {k}}(t)\end{pmatrix}}+{\boldsymbol {R}}^{\prime }{\begin{pmatrix}{\tilde {u}}_{\boldsymbol {k}}(t)\\{\tilde {v}}_{\boldsymbol {k}}(t)\end{pmatrix}}}

L'idea di Turing può essere realizzata in quattro mwcaclassi di equivalenza di sistemi, caratterizzati da differenti segni della mwcqmatrice jacobiana mwcg R {\displaystyle {\boldsymbol {R}}} della funzione reazione.

Siano mwdq x 1 {\displaystyle x_{1}} e mwdg x 2 {\displaystyle x_{2}} le densità di due sostanze chimiche mwdw X 1 {\displaystyle X_{1}} e mwea X 2 {\displaystyle X_{2}} interagenti secondo la mweqreazione chimica studiata da G. Nicolis e mwegPrigogine (1977):

mwfq A ⟶ ⟶ k 1 X 1 {\displaystyle \mathrm {A} \longrightarrow _{k_{1}}\mathrm {X_{1}} }

mwfw 2 X 1 + X 2 ⟶ ⟶ k 2 3 X 1 {\displaystyle \mathrm {2X_{1}} +\mathrm {X_{2}} \longrightarrow _{k_{2}}\mathrm {3X_{1}} }

mwgq B + X 1 ⟶ ⟶ k 3 X 2 + C {\displaystyle \mathrm {B} +\mathrm {X_{1}} \longrightarrow _{k_{3}}\mathrm {X_{2}} +\mathrm {C} }

mwgw X 1 ⟶ ⟶ k 4 D {\displaystyle \mathrm {X_{1}} \longrightarrow _{k_{4}}\mathrm {D} }

dove mwhq A {\displaystyle A} , mwhg B {\displaystyle B} , mwhw C {\displaystyle C} e mwia D {\displaystyle D} designano sostanze la cui concentrazione viene mantenuta costante durante la reazione, allora si hanno le seguenti mwiqequazioni alle derivate parziali:

mwja ∂ ∂ x 1 ∂ ∂ t − − d 1 ∇ ∇ 2 x 1 = k 1 a − − ( k 4 + k 3 b ) x 1 + k 2 x 1 2 x 2 {\displaystyle {\frac {\partial x_{1}}{\partial t}}-d_{1}\nabla ^{2}x_{1}=k_{1}a-(k_{4}+k_{3}b)x_{1}+k_{2}x_{1}^{2}x_{2}}

mwjg ∂ ∂ x 2 ∂ ∂ t − − d 2 ∇ ∇ 2 x 2 = k 3 b x 1 − − k 2 x 1 2 x 2 {\displaystyle {\frac {\partial x_{2}}{\partial t}}-d_{2}\nabla ^{2}x_{2}=k_{3}bx_{1}-k_{2}x_{1}^{2}x_{2}}

Tale modello prende il nome di mwkaBrusselatore.

cite-note-11. ↑ A. Kolmogorov et al., Moscow Univ. Bull. Math. A 1 (1937): 1

cite-note-22. ↑ R. A. Fisher, Ann. Eug. 7 (1937): 355

cite-note-33. ↑ A. C. Newell and J. A. Whitehead, J. Fluid Mech. 38 (1969): 279

cite-note-44. ↑ L. A. Segel, J. Fluid Mech. 38 (1969): 203

cite-note-55. ↑ Y. B. Zeldovich and D. A. Frank-Kamenetsky, Acta Physicochim. 9 (1938): 341

cite-note-66. ↑ B. H. Gilding and R. Kersner, Travelling Waves in Nonlinear Diffusion Convection Reaction, Birkhäuser (2004)

cite-note-77. ↑ A. M. Turing, Phil. Transact. Royal Soc. B 237 (1952): 37

• mwra(EN) Fisher, R.A., "The wave advance of advantageous genes", mwrqAnnals of Eugenics, 7:355-369, 1937.

• mwrw(EN) Kaliappan, P. "An Exact Solution for Travelling Waves of mwsa u t == D u ( x x ) + u − − u k . {\displaystyle u_{t}==Du_{(}xx)+u-u^{k}.} " Physica D 11, 368-374, 1984.

• mwsg(EN) Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic Press, p. 131, 1997.

• mwtgEquazione del calore

• mwuaEquazioni di drift-diffusion

• mwugEquazione di Fisher (matematica)

• mwvaconvezione di Rayleigh-Bénard

• mwvgEquazione di Smoluchowski

• mwwaEquazione di Fokker-Planck

• mwwgEquazione logistica

• mwxaEquazioni di Lotka-Volterra

• mwxgMoto browniano

• mwyaNumero di Biot

• mwygNumero di Fourier

• mwzaOregonatore

• mwzgPrimo principio della termodinamica

• mw0aReazione di Belousov-Zhabotinsky

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